懸臂梁是工程上常見的......



懸臂梁是工程上常見的一種梁，工程設(shè)計(jì)中必須考慮其強(qiáng)度及剛度，計(jì)算許用應(yīng)力及最大允許變形。本文就變截面懸臂梁在任意載荷作用下的

彎曲變形的最大正應(yīng)力及最大變形的計(jì)算，提供了一種具有通用性的方法使設(shè)計(jì)者能比較方便地求解出最大正應(yīng)力及最大變形。其中，運(yùn)用了
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以能量為基礎(chǔ)的瑞利-李茲法求撓度，使得變截面梁的撓度可順利求得。并利用計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算，使得一些復(fù)雜的方程得以快捷解出。
1　基本理論及求解途徑
1.1　最大應(yīng)力σmax的求法
　　 對懸臂梁設(shè)定其坐標(biāo)如圖1，受任意分布載荷q(x)作用，梁長為L。
　　根據(jù)彎矩的定義：
M(x)=-∫1-x0q(x+t)tdt
或者
M(x)=-∫lxq(t)(t-x)dt　　(1)
　　懸臂梁在q(x)作用下，任一點(diǎn)最大正應(yīng)力為：
σmax(x)=｜M(x)／Wz(x)max｜　　(2)
令　dσ(x)／dx=0可得：
F=f(x)
利用計(jì)算機(jī)編程解此方程，其流程圖如

　　求出邊界值σ(0),σ(L)。
　　 如果方程無解，則比較σ(0)，σ(L)中較大的為σmax。
　　 如果方程有解，則比較σ(0)，σ(L),σ(Xr)中較大的為σmax。
　　 如果載荷為集中載荷或者分段函數(shù)，也可作為特殊的分布載荷，分段處理。
1.2　最大變形fmax的求法
　　 利用瑞利-李茲法
　　 假設(shè)fi(x)滿足邊界條件，其撓度方程可表示為：
y(x)=Σaifi(x)　　(i=1……n)　　(3)
則載荷做功為：
W=-∫L0q(x)y(x)dx　　(4)
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彎曲應(yīng)變能為：
　　(5)
W與U分別對ai求全微分：
dW=A1da1+A2da2+……+Andan
dU=B1da1+B2da2+……Mndan
因　　　　　　　　　　　　　dW=dU　　(6)
則dai前面的系數(shù)分別相等，列出方程組，解出每一個(gè)ai值，代入(3)式，即可求出懸臂梁在特定載荷下的撓度方程，最大變形fmax即為最大撓

度：
fmax=｜Y(L)｜
2　數(shù)值計(jì)算
　　假設(shè)懸臂梁為等截面梁，受均勻載荷q(x)=w作用如圖3：
　　則彎矩為：
M(x)=-∫L-x0wtdt
=-w(L-x)2／2
任一點(diǎn)正應(yīng)力為：
σ(x)=｜［w(L-x)2／2］(bh2／6)｜
=3w(L-x)2／(bh2)
顯然當(dāng)x=0時(shí)有應(yīng)力最大值：
σmax=3wL2／(bh2)
假設(shè)其撓度方程為：
y=a0+a1x+a2x2+a3x3
邊界條件為在x=0處yc=y′c=0,因此a0=a1=0,則：
y=a2x2+a3x3
由(4)式：
W=-∫L0wy(x)dx
dW=-(w／3)da2-(w/4)da3
由(5)式：
U=∫L0［EIZ(y″)2／2］dx
dU=2EIzL［(2a2+3La3)da2+3L(a2+2La3)da3］
由(6)式：
-w／3=2EIzL(2a2+3La3)
-w／4=6EIzL2(a2+2La3)
由上式解得：
a2=-5wL2／(24EIz);
a3=wL／(12EIz)　　
代入撓度方程得：
y=-5wL2x2／(24EIz)+wLx3／12EIz)
此懸臂梁最大變形為：
fmax=｜y(L)｜=wL4／(8EIz)
　　假設(shè)懸臂梁為變截面梁，任一截面為矩形，如圖4所示，其高度h(x)=m+(n-m)x／L,受載荷q(x)=q0x2／L2作用。
　　 則截面的慣矩為：
　　　 Iz(x)=［h(x)］3b／12
　　　　　 =(b／12)［m3+3m2(n-m)x／L+3m(n-m)2x2／L2+(n-m)3x3／L3］
則截面的抗彎截面模量為：2
Wz（x)=b［h(x)］2／6=b［Lm+(n-m)x］2／(6L2)
彎矩為：
M(x)=-∫L-x0(x+t)2tdt
=-(q0／12L2)(x4-4L3x+3L4)
正應(yīng)力為：
σ（x)=｜M（x)／Wz（x)｜
=｜q0(x4-4L3x+3L4)／｛2b［Lm+(n-m)x］2｝｜
令dσ(x)／dx=0
并假設(shè)L=1m,m=0.1m,n=0.05m可得方程：
x4=4x3+2x+1=0
利用計(jì)算機(jī)解此方程得：
xr=1,并比較x=0和x=L處的應(yīng)力值得到：
σmax=σ(0)=15q0／b
　　假設(shè)其撓度方程為：
y=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4
邊界條件為在x=0處y=y′=0,因此a0=a1=0,則：
y=a2x2+a3x3+a4x4
由(4)式：
W=-∫L0［q0x2(a2x2+a3x3+a4x4)／L2］dx
dw=-(q0／5L2)da2-(q0／6L2)da3-(q0／7L2)da4
由(5)式：
　　 U=(E／2)∫L0(b／12)［m3+3m2(n-m)x／L+3m(n-m)2x2／L2+(n-m)3x3／L3］
　　 *［(a2x2+a3x3+a4x4)″］2dx
dU=Eb(37.5a2+39a3+42a4)／240000da2+
　　 Eb(39a2+63a3+576a4／7)／240000da3+
　　 Eb(42a2+576a3/7+837a4／7)／240000da4
由(6)式：
-q0／5=Eb(37.5a2+39a3+42a4)／240000
-q0／6=Eb(39a2+63a3+576a4／7)／240000
　　 -q0／7=Eb(42a2+576a3／7+837a4／7)／240000
由上三式得：
a2=-1389q0／（Eb)
a3=-459q0／(Eb)
a4=524q0／(Eb)
代入撓度方程得：
y=(-1389x2-459x3+524x4)q0／(Eb)
此懸臂梁最大變形為：
fmax=｜y(1)｜=1324.486q0／Eb
3　結(jié)果
　　通過以上兩例的計(jì)算，證明任意載荷作用下變截面懸臂梁的最大正應(yīng)力及最大變形可用本文所介紹的方法。此種方法解決了一般材料力學(xué)

中直接積分所帶來的麻煩。為工程實(shí)踐提供了一種便捷的方法。