前言 波克-許華爾茲......



前言
波克-許華爾茲定理是軸測投影的基本定理，無論對軸測投影理論，還是對軸測投影理論的應(yīng)用，該定理都有重要的意義。
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波克-許華爾茲定理為(簡稱，波-許定理①)：
任何一個非蛻化的完全四點(diǎn)形，都可以看作是一個形狀已定的四面體的軸測投影。
所謂完全四點(diǎn)形是指由四個一般位置的點(diǎn)(頂點(diǎn))及六條頂點(diǎn)連線所構(gòu)成的圖形。四個頂點(diǎn)都不在同一直線上的四點(diǎn)形稱為非蛻化四點(diǎn)形。
葉玉駒等著的《高等畫法幾何學(xué)》中將波克-許華爾茲定理敘述為(簡稱波-許定理②)：
任何一個四面體都可以軸測投影為一個形狀已定的非蛻化四點(diǎn)形。
上述兩種說法的區(qū)別是，前一種是將四面體作相似變換，而后一種是將非蛻化四點(diǎn)形作相似變換，文獻(xiàn)［1］事實上證明的是后者，再根 據(jù)相似變換原理推論出前者。
從定性角度看，上述兩種說法并沒有本質(zhì)的區(qū)別，但從定量角度看，上述兩種說法并不一致。事實上，波克-許華爾茲定理只涉及到定性的一面，沒有涉及定量這一方面。研究軸測投影基本定理定量問題即其計算理論是本文研究的問題。
軸測投影基本定理的計算理論將為計算機(jī)理解軸測投影圖提供最基本的理論依據(jù)。在機(jī)器人視覺、幾何造型、計算機(jī)動畫制作等方面有重要的應(yīng)用價值。
1　本文研究的問題
本文研究的主要問題有兩個，一個為波-許定理①的計算理論，另一個為波-許定理②的計算理論。
幾何模型圖
波-許定理①的計算問題為：將四面體ABCD(上圖)作空間剛體運(yùn)動變換和相似變換，使其到達(dá)位置A′B′C′D′，并使四面體A′B′C′D′在某投影方向下的軸測投影為完全四點(diǎn)形abcd。具體計算問題為：已知四面體ABCD和完全四點(diǎn)形abcd，求剛體運(yùn)動參數(shù)和相似變換系數(shù)。
波-許定理②的計算問題為：將完全四點(diǎn)形abcd作空間剛體運(yùn)動變換和相似變換，使其達(dá)到位置a′b′c′d′，并使四面體ABCD在某投影方向下的軸測投影為完全四點(diǎn)形a′b′c′d′。具體計算問題為：已知四面體ABCD和完全四點(diǎn)形abcd，求剛體運(yùn)動參數(shù)和相似變換系數(shù)。
空間剛體運(yùn)動一般可分解為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和平移運(yùn)動。對軸測投影來說，剛體平移運(yùn)動參數(shù)并不能完全確定，附加其它約束后，平移運(yùn)動參數(shù)比較容易獲得，為此本文重點(diǎn)研究剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動參數(shù)的計算問題。設(shè)剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的變換矩陣為：若求出矩陣R，則可方便地求得各分解方式下的剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動參數(shù)。
基于上述考慮，不妨設(shè)
A(0，0，0)，B(X1，0，0)，C(X2，Y2，0)，D(X3，Y3，Z3)
a(0,0,0),b(x1,0,0),c(x2,y2,0),d(x3,y3,0)
且相似變換系數(shù)為K。
2　波-許定理計算理論和方法
2.1　波-許定理①
在這種情況下，完全四點(diǎn)形abcd不動，因此投影方向不能平行于abcd所在的平面，即平面Z=0，故可設(shè)投影方向為V(l,m,1)。
四面體ABCD在空間旋轉(zhuǎn)運(yùn)動R和相似變換作用下到達(dá)位置A′B′C′D′。此時點(diǎn)B′，C′，D′應(yīng)分別位于過點(diǎn)b,c,d且平行于投影方向V的

直線上，據(jù)此可得：
KX1r11-x1=KX1lr31
r21=mr31
K(X2r11+Y2r12)-x2=Kl(X2r31+Y2r32)
K(X2r21+Y2r22)-y2=Km(X2r31+Y2r32)
K(X3r11+Y3r12+Z3r13)-x3=Kl(X3r31+Y3r32+Z3r33)
K(X3r21+Y3r22+Z3r13)-y3=Km(X3r31+Y3r32+Z3r33)
整理上述式子可得：
K(r11-lr31)=a1　(3-1)
r21-mr31=0　(3-2)
K(r12-lr32)=a2　(3-3)
K(r22-mr32)=a3　(3-4)
K(r13-lr33)=a4　(3-5)
K(r23-mr33)=a5　(3-6)
其中

利用式(3-1)(3-3)(3-5)可得：
K(1+l2)=a12+a22+a42　(3-8)
利用式(3-2)(3-4)(3-6)可得：
K2(1+m2)=a32+a52　(3-9)
利用式(3-1～6)可得：
K2lm=a2a3+a4a5　(3-10)
從式(3-8～10)可求得：
(3-11)
其中
b1=a2a3+a4a5
b2=a12+a22+a42
b3=a32+a52 (3-12)
從而可求得：
(3-13)
求得相似變換系數(shù)K和投影方向V(l,m,1)后，利用式(3-1)(3-2)及r112+r212+r312=1即可求得旋轉(zhuǎn)矩陣R中的元素(r11,r21,r31),再利用(3-3～6)及即可求出旋轉(zhuǎn)矩陣R中的其它元素，從而可求出四面體A′B′C′D′的位置。
從上可以看出，相似變換系數(shù)K有兩解，其絕對值相等，符號相反。投影方向V(l,m,1)也有兩解，這兩解關(guān)于投影平面(即abcd所在的平面 )對稱，從而可以看出旋轉(zhuǎn)矩陣R將有八解。即四面體A′B′C′D′的位置將有八個位置。
基于上述分析和求解，從定性和定量兩方面考慮，波-許定理①應(yīng)補(bǔ)充為：
任何一個非蛻化的完全四點(diǎn)形，都可以看作是一個形狀已定的四面體的投影。相似變換系數(shù)有兩解，其絕對值相等符號相反；投影方向也 有兩解，這兩解對稱于投影平面；變換后的四面體有八個位置。
2.2　波許定理②
設(shè)投影方向為V(l,m,n,)。
在這種情況下，完全四點(diǎn)形a′b′c′d′的六條也是四面體ABCD各棱邊的軸測投影。因此，應(yīng)用兩個字母來表示兩條對角邊的交點(diǎn)(如對 角邊a′d′和b′c′的交點(diǎn)為e′(f′)，e′的對應(yīng)點(diǎn)E屬于棱邊AD，f′的對應(yīng)點(diǎn)F屬于BC，由于三點(diǎn)的簡比在軸測投影及空間剛體運(yùn)動和相似變換下是不變的，故可以根據(jù)下列條件求得從e(f)求得四面體ABCD上棱邊AD和BC上相對應(yīng)的點(diǎn)E和F。
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(aed)=a′e′d′)=(AED)
(bfc)=(b′f′c′)=(BFC)
設(shè)E(X4,Y4,Z4),F(X5,Y5,Z5),則投影方向V：
(4-1)
依據(jù)點(diǎn)b′,c′,d′,應(yīng)分別位于過點(diǎn)B，C，D，且平行于投影方向V的直線上，可得
Klx1r31-Knx1r11+nX1=0
Kmx1r31-Knx1r21=0
Klx2y31+Knx2r11-Kny2r12+nX2=0
Kmx2r31+Kly2r32-Knx2r21-Kny2r22+nY2=0
Klx3r31+Kly3r32-Knx3r11-Kny3r12+nX3-lZ3=0
Kmx3r31+Kmy3r32-Knx3r21-Kny3r22+nY3-mZ3=0
經(jīng)整理可得：
(4-2)
其中
a1=lx1　a2=mx1　a3=lx2　a4=mx2　a5=lx3
a6=mx3　a7=ly2　a8=my2　a9=ly3　a10=my3
b1=nx1　b2=nx2　b3=nx3　b4=ny2　b5=ny3
c1=nX1　c2=nX2　c3=nY2　c4=nX3-lZ3　c5=nY3-mZ3
在式(4-2)中，若將kr11,kr12,kr21,kr22,kr31,kr32看作未知數(shù)，則利用式(4-2)可唯一確定上述未知數(shù)值。利用旋轉(zhuǎn)矩陣R的正交性質(zhì)，
則可得
從而可求得旋轉(zhuǎn)矩陣R中的元素(r11,r21,r31,r12,r22,r32)。再利用
可求得旋轉(zhuǎn)矩陣R中的其它三個元素。
從上可以看出，投影方向V(l,m,n)僅有一解，而相似變換系數(shù)K有兩解，其絕對值相等符號相反，從而旋轉(zhuǎn)矩陣R也有兩解，即完全四點(diǎn)形 a′b′c′d′有兩個位置。